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Il modello di Black e Scholes

Il modello di Black e Scholes: definizione

Tentare di spiegare in parole semplici il modello di Black e Scholes è arduo. A mio avviso, tuttavia, è possibile fornirne comunque presupposti e implicazioni.

Come presupposti alla base del modello ci sono:

  • mercati sempre aperti;
  • assenza di costi di arbitraggio;
  • il tasso d’interesse privo di rischio costante nel tempo;
  • la volatilità del prezzo del sottostante è costante;
  • i movimenti del prezzo del sottostante seguono una distribuzione lognormale, il che implica una distribuzione normale dei rendimenti capitalizzati;
  • il sottostante non paga dividendi

Capisco che, a molti, molti termini possano sembrare complicati ma vediamo di spiegare in dettaglio di cosa stiamo parlando.

Mercati sempre aperti

Il punto 1 ci dice che il modello per funzionare presuppone che sia possibile in ogni momento comprare o vendere il sottostante (forse solo le valute hanno questa caratteristica).

Assenza di costi di arbitraggio

Il punto 2 ci dice che, qualora ci fosse la possibilità di guadagnare senza rischio sul mercato, questo lo si potrebbe fare a costo zero.

Il tasso d’interesse privo di rischio costante nel tempo

Il punto 3 fa riferimento ad un tasso d’interesse, detto privo di rischio, con cui far muovere i soldi nel tempo: i tassi d’interesse sono un po’ il premio che si incassa per rinunciare oggi ai soldi e riaverli tra un po’ di tempo. Privo di rischio significa che l’investimento in questo tasso non può portare a perdite e che, quindi, il tasso utilizzato rappresenta solo il valore temporale del denaro (non il rischio di fallimento o di liquidità).

La volatilità del prezzo del sottostante è costante

Il punto 4 è la base del concetto delle opzioni: la volatilità. Un sottostante molto volatile è un sottostante il cui prezzo, molto spesso e anche per grandi variazioni, si muove rispetto al suo prezzo medio. Consideriamo due titoli: un titolo A, che ha avuto negli ultimi 6 giorni un prezzo fisso a 10€, e un titolo B, che ha avuto negli ultimi 6 giorni questo andamento: 2€, 18€, 5€, 15€, 9€, 11€. I titoli avranno lo stesso prezzo medio, ma il titolo B ha una “volatilità” maggiore (in realtà A non ha proprio volatilità!).

I movimenti del prezzo del sottostante seguono una distribuzione lognormale

normale_pulitaIl punto 5 è un altro cardine del modello. Una distribuzione di probabilità è una rappresentazione di come si muove un determinato fenomeno: la distribuzione normale è quella qui a fianco: con f(x) indichiamo la probabilità che la variabile x assuma quel valore.

Ad esempio qual’è la probabilità che lanciando una moneta venga testa e che quindi vinciamo 1€ o che venga croce e che quindi perdiamo 1€? Se lanciamo la nostra moneta milioni di volte, alla fine mediamente, non avremo vinto nulla!

Quindi la probabilità di non guadagnare nulla ossia f(0) avrà il valore maggiore di tutte le altre possibilità. Come si capisce la possibilità che, lanciando 1 milione di volte la moneta esca per 1 milione di volte testa o 1 milione di volte croce è praticamente zero. Infatti valori di x molto grandi o molto negativi hanno probabilità infinitesimali. Questa distribuzione ha una formula che mi dice, per ogni valore di x qual’è la sua probabilità di realizzarsi.

Nella formula di Black e Scholes viene utilizzata una distribuzione normale cd standardizzata, che cioè, rende la media sempre pari a 0 (come per il lancio di moneta) e la volatilità (ossia l’ampiezza della campana) pari a 1 a prescindere dai valori che può assumere il fenomeno: se riempiendo un bicchiere per 1 milione di volte, mediamente, ottengo 30 cl di acqua con una volatilità pari a 3  allora la distribuzione normale standardizzata sarà pari a x – 30 / [3^(1/2)].

Il sottostante non paga dividendi

Il punto 6 serve solo nella formulazione base del modello.

Con questa breve esposizione delle basi del modello spero di aver fatto capire che questo modello si basa, sostanzialmente, su ipotesi abbastanza plausibili come il fatto che il prezzo di un bene rimanga, mediamente, dove è stato mediamente nel passato e che non ci possono essere opportunità di arbitraggio.

Alla fine la formula di Black e Scholes per prezzare una call di tipo europeo su un sottostante che non paga dividendi è uguale a:

blackscholes.001

N(d1) e N(d2) sono due variabili normali standardizzate, S è il prezzo del sottostante oggi, K lo strike price, r il tasso privo di rischio, T-t la durata dell’opzione e σ la deviazione standard (la radice quadrata della volatilità).

A questo punto posso darvi una spiegazione intuitiva della formula per il calcolo del prezzo di un’opzione.

Tale formula ci indica che il prezzo di una call europea di un sottostante che non paga dividendi è pari alla differenza tra:

  • S x N(d1),  ossia tra il prezzo del sottostante oggi e la probabilità che l’opzione finisca in the money alla scadenza della stessa.
  • K x e-r x (T-t) x N(d2), il valore atteso attualizzato del costo di esercizio dell’opzione stessa per la probabilità che ciò avvenga.

Secondo me un ulteriore chiarezza la potremmo avere se pensiamo che, per valori molto più grandi di S rispetto a K (ossia per valori del sottostante molto molto maggiori dello strike price), la probabilità che l’opzione venga esercitata è praticamente pari al 100% e, infatti, per S molto più grande di K sia N(d1) che N(d2) diventerebbero praticamente uguali a 1 (ossia 100%).

In questo caso, il valore della call perderebbe l’incertezza e diventerebbe semplicemente pari a:

CE = S – K x e-r x (T-t)

Per le put il discorso è molto simile, nel senso che i parametri sono gli stessi ma, chiaramente, la probabilità di andare in the money dipende negativamente dal prezzo attuale del sottostante e, quindi, le probabilità vanno considerate al contrario delle call.

PE = K x e-r x (T-t) x N(-d2) – S x N(-d1)

Possiamo, per concludere, dire che il prezzo delle opzioni dipende dalla probabilità che queste hanno di andare in the money ed essere esercitate.

Tralasciamo, per il momento, tutte le “varianti” del modello per tener conto dei dividendi o sottostanti particolari, tranne che per quello che riguarda le opzioni su valute.

b&s currency.001In tale variante, come si vede, il sottostante (S) è considerato la valuta estera che, come è noto, ha il suo tasso d’interesse.

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